Линейная функция и её график

Представьте поездку на такси. За посадку платят 500 тенге, а потом по 100 тенге за каждый километр. Сколько будет стоить поездка на 3 км? На 7 км?

Обозначим расстояние буквой x, а стоимость буквой y. Тогда стоимость считается по одному правилу для любого расстояния:

y = 100x + 500

Подставьте x = 3: y = 100 · 3 + 500 = 800. Подставьте x = 7: y = 1200. Каждому расстоянию соответствует ровно одна стоимость. Такое правило называют функцией. Здесь x называют независимой переменной, или аргументом, а y зависимой переменной, или значением функции.

Уберём конкретные числа и оставим только форму записи. Линейной функцией называют функцию, которую можно задать формулой

y = kx + b,

где k и b какие-то числа, а x независимая переменная. Число k называют угловым коэффициентом, число b свободным членом. В формуле такси k = 100, b = 500.

Числа k и b могут быть любыми: отрицательными, дробными и даже нулём. Вот несколько линейных функций и их коэффициенты:

• y = 3x − 2: k = 3, b = −2
• y = −x + 5: k = −1, b = 5 (перед x стоит минус, значит k = −1)
• y = 4 − 3x: k = −3, b = 4 (порядок слагаемых не важен, k всегда число при x)
• y = 0,5x: k = 0,5, b = 0
• y = 7: k = 0, b = 7

График функции это все точки координатной плоскости, у которых абсцисса x и ордината y связаны формулой функции. График линейной функции всегда прямая линия.

Через две точки проходит ровно одна прямая. Поэтому для построения графика достаточно найти две точки, а потом провести через них прямую по линейке.

Построим график функции y = 2x − 1.

1. Выберем два удобных значения x. Ноль всегда удобен: при x = 0 получаем y = 2 · 0 − 1 = −1. Возьмём ещё x = 2: y = 2 · 2 − 1 = 3.
2. Отметим точки (0; −1) и (2; 3) на координатной плоскости.
3. Проведём через них прямую.

Чтобы проверить себя, возьмите третью точку: при x = 1 получаем y = 1. Точка (1; 1) должна лечь на ту же прямую.

Как узнать, лежит ли точка на графике, не рисуя его? Подставьте координаты точки в формулу. Если равенство верное, точка принадлежит графику.

• Точка (3; 5) и функция y = 2x − 1: 2 · 3 − 1 = 5. Равенство верное, точка на графике.
• Точка (1; 2) и та же функция: 2 · 1 − 1 = 1, а не 2. Точка не на графике.

Так же можно найти недостающую координату. Если точка (5; y) лежит на графике y = 2x − 1, то y = 2 · 5 − 1 = 9.

Число b показывает, где прямая пересекает ось Oy. Подставьте x = 0 в формулу y = kx + b: получится y = b. Значит, точка (0; b) всегда лежит на графике. Если менять b, прямая сдвигается вверх или вниз, не поворачиваясь.

Число k показывает, как быстро растёт y. Когда x увеличивается на 1, y меняется ровно на k.

• Если k > 0, прямая идёт вверх слева направо: функция возрастает.
• Если k < 0, прямая идёт вниз: функция убывает.
• Если k = 0, получается y = b: горизонтальная прямая, параллельная оси Ox.

Чем больше k по модулю, тем круче прямая. Если менять k, прямая поворачивается вокруг точки (0; b).

Точку пересечения с осью Ox тоже можно найти без рисунка. На оси Ox ордината равна нулю, поэтому решаем уравнение kx + b = 0. Например, для y = 2x − 6: 2x − 6 = 0, x = 3. Прямая пересекает ось Ox в точке (3; 0), а ось Oy в точке (0; −6).

Особый случай: если b = 0, формула принимает вид y = kx. Такую зависимость называют прямой пропорциональностью, а её график проходит через начало координат (0; 0).

Возьмём две линейные функции: y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂. Как расположены их графики? Всё решают коэффициенты.

• k₁ = k₂, а b₁ ≠ b₂: прямые параллельны. Они поднимаются одинаково круто, но пересекают ось Oy в разных точках, поэтому общих точек нет. Например, y = 2x + 1 и y = 2x − 3.
• k₁ ≠ k₂: прямые пересекаются ровно в одной точке, какими бы ни были b₁ и b₂.
• k₁ = k₂ и b₁ = b₂: это одна и та же прямая, графики совпадают.

Обратите внимание: одинаковые b не делают прямые параллельными. Они лишь означают, что обе прямые проходят через одну точку на оси Oy.

Как найти точку пересечения без рисунка? В этой точке у обеих прямых одинаковые x и y. Значит, значения функций равны: приравниваем формулы и решаем уравнение.

Пример: y = 2x + 1 и y = −x + 4.

1. 2x + 1 = −x + 4
2. 3x = 3, откуда x = 1
3. Подставляем в любую формулу: y = 2 · 1 + 1 = 3

Точка пересечения (1; 3). Проверьте по второй формуле: −1 + 4 = 3. Сходится.

• Линейная функция задаётся формулой y = kx + b, где k и b числа. Её график прямая.
• Чтобы построить график, достаточно двух точек. Точка принадлежит графику, если её координаты превращают формулу в верное равенство.
• b показывает, где прямая пересекает ось Oy: в точке (0; b). k показывает направление и крутизну: при k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает, при k = 0 прямая горизонтальна.
• Одинаковые k: прямые параллельны (или совпадают, если и b одинаковые). Разные k: прямые пересекаются в одной точке, её находят, приравняв формулы.