Сызықтық функция және оның графигі

Таксимен жүруді елестетіңіз. Отырғаны үшін 500 теңге, содан кейін әр километр үшін 100 теңге төленеді. 3 км жол қанша тұрады? 7 км жол ше?

Қашықтықты x әрпімен, ал құнын y әрпімен белгілейік. Сонда кез келген қашықтық үшін құн бір ережемен есептеледі:

y = 100x + 500

x = 3 қойыңыз: y = 100 · 3 + 500 = 800. x = 7 қойыңыз: y = 1200. Әр қашықтыққа тура бір құн сәйкес келеді. Мұндай ережені функция деп атайды. Мұнда x тәуелсіз айнымалы, немесе аргумент, ал y тәуелді айнымалы, немесе функцияның мәні деп аталады.

Нақты сандарды алып тастап, тек жазылу түрін қалдырайық. Мына формуламен берілетін функцияны сызықтық функция деп атайды:

y = kx + b,

мұндағы k мен b қандай да бір сандар, ал x тәуелсіз айнымалы. k санын бұрыштық коэффициент, b санын бос мүше деп атайды. Такси формуласында k = 100, b = 500.

k мен b сандары кез келген бола алады: теріс, бөлшек, тіпті нөл. Міне, бірнеше сызықтық функция және олардың коэффициенттері:

• y = 3x − 2: k = 3, b = −2
• y = −x + 5: k = −1, b = 5 (x-тің алдында минус тұр, демек k = −1)
• y = 4 − 3x: k = −3, b = 4 (қосылғыштардың реті маңызды емес, k әрқашан x-тің алдындағы сан)
• y = 0,5x: k = 0,5, b = 0
• y = 7: k = 0, b = 7

Функцияның графигі дегеніміз координаталық жазықтықтың абсциссасы x пен ординатасы y функцияның формуласымен байланысқан барлық нүктелері. Сызықтық функцияның графигі әрқашан түзу сызық.

Екі нүкте арқылы тура бір түзу өтеді. Сондықтан график салу үшін екі нүкте тауып, содан кейін олар арқылы сызғышпен түзу жүргізу жеткілікті.

y = 2x − 1 функциясының графигін салайық.

1. x-тің екі ыңғайлы мәнін таңдаймыз. Нөл әрқашан ыңғайлы: x = 0 болғанда y = 2 · 0 − 1 = −1. Тағы x = 2 алайық: y = 2 · 2 − 1 = 3.
2. Координаталық жазықтықта (0; −1) және (2; 3) нүктелерін белгілейміз.
3. Олар арқылы түзу жүргіземіз.

Өзіңізді тексеру үшін үшінші нүкте алыңыз: x = 1 болғанда y = 1. (1; 1) нүктесі сол түзудің бойында жатуы керек.

Графикті салмай-ақ, нүктенің графикте жатқанын қалай білуге болады? Нүктенің координаталарын формулаға қойыңыз. Теңдік дұрыс болса, нүкте графикке тиісті.

• (3; 5) нүктесі және y = 2x − 1 функциясы: 2 · 3 − 1 = 5. Теңдік дұрыс, нүкте графикте.
• (1; 2) нүктесі және сол функция: 2 · 1 − 1 = 1, 2 емес. Нүкте графикте емес.

Дәл солай жетіспейтін координатаны табуға болады. Егер (5; y) нүктесі y = 2x − 1 графигінде жатса, онда y = 2 · 5 − 1 = 9.

b саны түзудің Oy осін қай жерде қиятынын көрсетеді. y = kx + b формуласына x = 0 қойыңыз: y = b шығады. Демек, (0; b) нүктесі әрқашан графикте жатады. b-ны өзгертсек, түзу бұрылмай жоғары немесе төмен жылжиды.

k саны y-тің қаншалықты тез өсетінін көрсетеді. x бірге артқанда y тура k-ға өзгереді.

• Егер k > 0 болса, түзу солдан оңға қарай жоғары көтеріледі: функция өседі.
• Егер k < 0 болса, түзу төмен түседі: функция кемиді.
• Егер k = 0 болса, y = b шығады: Ox осіне параллель горизонталь түзу.

k-ның модулі неғұрлым үлкен болса, түзу соғұрлым тік болады. k-ны өзгертсек, түзу (0; b) нүктесін айнала бұрылады.

Ox осімен қиылысу нүктесін де суретсіз табуға болады. Ox осінде ордината нөлге тең, сондықтан kx + b = 0 теңдеуін шешеміз. Мысалы, y = 2x − 6 үшін: 2x − 6 = 0, x = 3. Түзу Ox осін (3; 0) нүктесінде, ал Oy осін (0; −6) нүктесінде қияды.

Ерекше жағдай: егер b = 0 болса, формула y = kx түріне келеді. Мұндай тәуелділікті тура пропорционалдық деп атайды, ал оның графигі координаталар басы (0; 0) арқылы өтеді.

Екі сызықтық функция алайық: y = k₁x + b₁ және y = k₂x + b₂. Олардың графиктері қалай орналасқан? Бәрін коэффициенттер шешеді.

• k₁ = k₂, ал b₁ ≠ b₂: түзулер параллель. Олар бірдей тік көтеріледі, бірақ Oy осін әртүрлі нүктелерде қияды, сондықтан ортақ нүктелері жоқ. Мысалы, y = 2x + 1 және y = 2x − 3.
• k₁ ≠ k₂: түзулер тура бір нүктеде қиылысады, b₁ мен b₂ қандай болса да.
• k₁ = k₂ және b₁ = b₂: бұл бір түзу, графиктер беттеседі.

Назар аударыңыз: бірдей b түзулерді параллель етпейді. Ол тек екі түзудің де Oy осіндегі бір нүкте арқылы өтетінін білдіреді.

Қиылысу нүктесін суретсіз қалай табуға болады? Бұл нүктеде екі түзудің де x және y мәндері бірдей. Демек, функциялардың мәндері тең: формулаларды теңестіріп, теңдеуді шешеміз.

Мысал: y = 2x + 1 және y = −x + 4.

1. 2x + 1 = −x + 4
2. 3x = 3, бұдан x = 1
3. Кез келген формулаға қоямыз: y = 2 · 1 + 1 = 3

Қиылысу нүктесі (1; 3). Екінші формуламен тексеріңіз: −1 + 4 = 3. Сәйкес келеді.

• Сызықтық функция y = kx + b формуласымен беріледі, мұндағы k мен b сандар. Оның графигі түзу.
• График салу үшін екі нүкте жеткілікті. Координаталары формуланы дұрыс теңдікке айналдырса, нүкте графикке тиісті.
• b түзудің Oy осін қай жерде қиятынын көрсетеді: (0; b) нүктесінде. k бағыт пен тіктікті көрсетеді: k > 0 болса функция өседі, k < 0 болса кемиді, k = 0 болса түзу горизонталь.
• k бірдей: түзулер параллель (b да бірдей болса, беттеседі). k әртүрлі: түзулер бір нүктеде қиылысады, оны формулаларды теңестіріп табады.